電話

4ヶ月もやりとりしてたなら、なんとなく脈ありな感じを受けますね。
電話の事は伏せて、今まで通りお声がけしてみたらいかがですか？
がんばってください。

電話が苦手なのかもしれませんよ。私も会ったことのない人と仕事以外で電話するの、緊張するし苦手です。電話のことを無かったことにしてお久しぶりですってメッセージ送って見ては？それでも返信こなかったら次にいきましょう！

残念ながら諦めでしょうね・・・
仕方ないとはいえ、4ヶ月メッセージだけだとダラけちゃいますよね
男性としては、ずっと会ったことない女性と長期のやりとりをするのはやはりキツいものです
理由はこんな感じです
・写真だと加工等の警戒心があるので、会って好きになれるか未確認の状態で時間と労力を割かれ続けたくない
・基本は女性優位なので、関係が進む気配がないと切られる、他の男性にいかれる可能性が上がり不安が続いて疲れる
・意外と男性側も気を遣っているケースは多く、疲弊していく

久しぶりですくらいの軽い感覚で一旦メッセージ送ってみるのはどうですか？
返信なければ残念ですがご縁がなかったということで次に行きましょう！

4ヶ月もまあよく続くね。それで会って見た目最悪来たらどうするん？一週間くらいしたもう会わないとね

4ヶ月もメッセージしてて電話とは、あまりにも進展が遅いうえに待たせすぎだと思います。。
そもそもいきなり飲みの席で会うって提案も怪しいですね。
もう少し早い段階でビデオデートか電話しておけばよかったんじゃないかと。
メールだけ数ヶ月してても勝手なイメージが膨らんでいくだけなので、どんなに長くても１ヶ月くらいで会うことをオススメします！