メールで「仲良くなる」とは？

自分も男性に仲良くしてくださいというメッセージを頂いたことはありますがよくわかりません。会っていないのに仲良くとは？？？と思います。

私が思うに、「仲良くなる」は文面とはことかり、「主観でコミュニケーションを取れるかどうか」って意味だと思います。
「主観」とは、文面での印象しかなく、その文章で実際に会っても問題ない人物であるかの個々の基準を差します。

恐らく、「ある程度打ち解ける」という意味では？

よくいるよね、そういう女（笑）
私なら面倒なので次いきます。

仲良くなるの意味を深読みしすぎでは？友達の定義も悩んでいそうですね。
メールでのやり取りで合う合わないはある程度分かります。
実際会ってやっぱり合わないということもありますが、事前にやり取りすることで安心して会うことができます。
いきなり会おうという人、ラインを交換しようとする馴れ馴れしい人達を篩に掛けているのでしょう。

今となっては日本国内では死語だと思いますが、一昔前は文通(手紙を送り合う事)が流行っていました。
私の両親は雑誌の文通相手募集コーナーがきっかけで文通をする事になり、文通を続ける事で仲良くなって結婚しました。
他県でなかなか会えない中、文字だけのやり取りを続けていたそうです。
私は、メッセージで仲良くなるのは不可能ではないと思います。
メッセージのやり取りなしでいきなり女性と会うのは無理です、不可能です。
(女性は警戒心が強いですから、メッセージで親睦を深めずにいきなり会うのは難しいです。)