そんな堅苦しいこと考えてません。
名前は？なんて普通の挨拶ですし、下の名前だけでも応えてあげたらいかがですか？

ネット上だと名前はいくらでも作れるので名前は言わない文化の人もいますよ
価値観は人それぞれ

男性、女性問わず、写真や名前を教えてほしい時はまず自分から見せるなり言うなりするのが当たり前だと思いますけどね。
そういう事ができない人結構いますよね。
女性の場合は怖いと思う事もあるだろうからしかないかなと思いますが、男性でもそんな人いるんですね。

私は下の名前は名乗りますけどね（信じられるかどうかは別として）
下の名前すら向こうから名乗られないようであればなめられていると思います...
本名は何回か会って仲良くなってから出ないと怖いです！

自分は答えたのに、相手は教えたくないなんて時は失礼だと思います。ただ、メッセージの段階なら本名かなんてわかりませんよ、ネットの中ですから。会話の流れのつもりなのね、でも少し私とは礼儀の価値観違うのかな？と、スルーしつつチェックポイントにすればいいのではありませんか？対面した時の礼儀をネットの中で適用するのは危ない時もありますから。

なんか頭が固くて、男性を上から目線で評価するタイプの女性かなと感じました。。
確かに自分から名のれよって思いますけど、堅苦しい場ではないとおもうので私は〜です！あなたは？と聞けばいいですよね。そこでスルーされたらおかしいと思って当然ですけど。