>私から誘うのは1回目の時だったので、次も私から誘うのも一方的な感じがして…。

それは気にしなくていいのでは？男はいつも一方通行で誘いますが、それをしないと始まらないので気にしないです。そもそもフェアじゃないでしょ？なんで毎回男が誘わないといけないんだよってね。

似た質問がよくあるので、毎回言ってるんですけど、じゃんじゃんあなたから誘うしかありませんよね？
メールやLINEの回数なんてゴミみたいなもんでどうでもいいです。恋愛と関係ありません。
基準は会えるかどうか？会う間隔が短いかどうかです。
あなたが誘えば、すぐ結果がわかりますよ？
経験上、会うのに1ヶ月以上かかる男女は見込み無しでキープまたは友達です。
相手が引っ込み思案だと仮定しても、誘えば来ます。そういうもんです。
忙しかろうと、1ヶ月以上はダメです。
キープかただの友達です。
友達でもいいなら割り切ってメールだけを楽しみましょう。
そういうのもアリですから。

単純に、不幸なすれ違いが起きているだけかと思われます。

おそらくお相手は、メールを続けているイコール「好意の意思表示」と思っておられます。（女性側の価値基準では、理解しがたいと思いますが）

ご質問者さんは「好意を抱いてくれているなら、より積極的なアクションをしていただきたい」と考えておられるのに対し、お相手の方は「メールを頑張って続けている（継続して好意を伝えている）」と考えておられる。おそらくですが、認識の齟齬が起きております。

このように、男性と女性の間には、様々価値基準の相違があります（バスタオルを何日で洗うか、で揉めるぐらいです）。「認識のズレが起きているかも」と感じたら都度、お互いに確認し合っていくとよろしいかもしれませんね。

男の中にも女性慣れしてないタイプやら消極的な人やらいっぱいいるので、もしその人のことが気になるなら思い切って誘ってみてください。
ダラダラやり取り続けても仕方ないし、何考えてるかなんかわからなくて当然なので、2回目誘っての反応や会った時の雰囲気見てから悩みましょう。