別れた方がいいのかわからない

非常に苦しいお話ですね。
お相手の事が好きでも、家庭内の不和やお金の事はどうしてもストレスになり、結婚生活が続かなくなります。
お母さんに問題があるとしても、お相手にとってはただ1人の母親ですので、切り捨てる事もできないでしょう。
これからの事を真剣に考えているなら、正直に一度、その問題をとことん話し合うべきかと思います。
嫌な事に目を背けて結婚しても、いずれ必ず問題は降りかかってきます。
弁護士など第三者を挟む方が感情的にならずスムーズに話し合えるので、家庭問題に強い事務所を調べて無料相談などを活用すると良いかもしれません。
それでも解決に至らないなら、分かれて別のお相手を探すのも良いかと思いますが、私の個人的な感情としては今好きな人を諦めて欲しくないです。
まずは、やれるだけの話し合いをしていただきたいです。

お金がなくてもこの人って思えないのならそれまでの関係なので別れた方がいいですよ

彼氏さんの家庭の詳しい事情はわからないのですが、結婚しても　給料の半分を仕送りする(両親に渡す)ようなら　辛いですが早めに別れたほうがいいかもしれません。（仕送りは良いと思いますが、半分仕送りはちょっと痛いかな）
今は恋人同士で質問者さんの財布にはまだ影響があまりないと思いますが、結婚したら　質問者さんの財布に影響があると思います。
一回、(結婚後)家計簿を試しに作ってみてもいいかも？
結婚費用、結婚後の家賃や電気代、お互いの給料などを考えてみましょう。
あと、彼氏さんはどう思っているのか？結婚後も半分を両親に渡す予定なのか？ちゃんと聞いたほうがいいと思います。