質問者様が認識されていらっしゃるとおり、こっそり買ってあげるのがベストです。
欲しいもの買ってあげるから選んで！と言われるのは嬉しくありません。
予算はいくら？
どんなプレゼントをあげたら喜ぶ？
この問題を全て彼女に丸投げしている感じがするからです。
付き合って初めての誕生日プレゼントでしたら、彼女さんはかなりあなたに気を遣います。

「私のために色々考えてくれた時間」
これも彼女さんからみれば立派なプレゼントだと思います。

好みを把握できていないのは彼女さんもご存知のはず。多少外しても大目に見てもらえますが、リサーチは必要です。
彼女さんとの会話で、さりげなく好みや欲しいものを引き出してください。
たとえ彼女さん側が察しがついたとしても、もしかして誕生日プレゼントのこと考えてくれてる！？と嬉しいはずです。

場合によっては一緒に買いに行くのがOKなパターンもあります。
彼女さんから「誕生日プレゼントに欲しいものがあるんだけど〜」と自ら誕生日の話＋具体的な品物の提案があった時のみ、「じゃあ一緒に買いに行こうか！」と誘ってあげてください。